Testo 8
Über die harmonische Teilung der Saite
di Johannes Kepler
... mein an Pythagoras und Plato anklingendes Werk ...
Bisher haben wir den Ursprung der harmonischen Proportionen aufgezeigt, und zwar einen doppelten, einen, der sich unmittelbar von den darstellbaren und zugleich kongruenten Figuren [a] herleitet, einen anderen, der Gebrauch macht von der doppelten Proportion [b], auf der die Identität der Konsonanzen beruht. Da es nun aber unendlich viele harmonische Proportionen gibt und diese, was unser Wissen um sie anlangt, noch unbearbeitet, ungeschliffen, unscheinbar, unbenannt angehäuft oder vielmehr regellos zerstreut sind wie ein Haufen roher Steine und Balken, so folgt, daß wir uns daranmachen, sie zuzurichten, ihnen Namen zu geben, um zuletzt aus ihnen das herrliche Gebäude des harmonischen Systems oder der musikalischen Tonleiter aufzurichten, ein Gebäude, dessen Gliederung nicht willkürlich, wie einer denken möchte, nicht eine menschliche Erfindung ist, die man abändern könnte, sondern sich durch und durch vernunft- und naturgemäß darstellt, so daß Gott der Schöpfer selber sie beim Abstimmen der himmlischen Bewegungen [c] ausgedrückt hat. Das Mittel aber, durch das die harmonischen Proportionen in ein System zusammengefügt werden, sind die harmonischen Teilungen der Saite, deren Anzahl zu bestimmen Aufgabe dieses Kapitels ist.
DEFINITION
Wenn die ganze Saite in solche Teile zerlegt wird, die einzeln unter sich und mit der ganzen konsonieren, so heißen wir diese Teilung harmonisch. Das Mittelglied dieser musikalisch (d.h. konsonant) proportionierten Teilung ist einer der beiden gleichen Teile oder, falls die Teile ungleich sind, der größere von ihnen; die Außenglieder der konsonanten Proportion sind der andere, kleinere Teil und die ganze Saite.[d]
Der Mathematiker möge die Analogie mit dem göttlichen Schnitt beachten, bei dem sich das Ganze zum größeren Teil verhält wie dieser zum kleineren.[e] Wie nämlich bei der geometrischen Teilung die Verhältnisse gleich sind, so ist bei unserer musikalischen Teilung jene Eigenschaft die gleiche, die man Konsonanz, Konkordanz, Kongruenz oder Harmonie heißt. Man hüte sich aber, die Konsonanz als gleichartig anzunehmen, so wie dort nur ein einziges Verhältnis auftritt.
Die Alten haben diese Teilung nicht in diesem Sinn erwähnt, weil sie die wahren Ursachen der Konsonanzen nicht kannten. [...]
SATZ IX.
Die Teilung der Saite in zwei gleiche Teile ist harmonisch*). [vgl. d: Oktav] Denn da die gleichen Teile bei einer bestimmten Spannung nach Axiom II [1] den gleichen Ton geben, die ganze Saite aber das Doppelte einer dieser Teile ist, konsoniert sie identisch mit jedem der Teile, nach Satz I [2]. Es liegen also drei Konsonanzen vor, daher ist die Saite nach unserer Definition harmonisch geteilt.
*) Es müssen hier des leichteren Verständnisses wegen die gebräuchlichen musikalischen Notenbezeichnungen im voraus aus dem folgenden herangezogen werden.
SATZ X.
Die Teilung der Saite in zwei Teile nach der doppelten Proportion ist harmonisch. [vgl. d: Oktav]
Denn die Teile dieser Proportion konsonieren identisch nach Satz I [1]. Und da der größere Teil das Doppelte des kleineren ist, ist die ganze Saite das Dreifache des kleineren. Sie verhält sich also zu dem kleineren Teil wie der Kreis zu dem durch die Dreieckseite von ihm abgeschnittenen Teil; dieser ist konsonant nach dem Zusatz am Ende des vorausgehenden Kapitels. Daher ist auch die ganze Saite mit dem kleineren Teil konsonant, nach Axiom V [3]. Sie konsoniert also auch mit dem Doppelten des kleineren Teils, d.h. mit dem Reststück, nach Satz IV [4]. Es werden also durch diese Teilung drei Konsonanzen gebildet, also usw.
SATZ XI.
Die Teilung der Saite in zwei Teile nach der dreifachen Proportion ist harmonisch.
Denn da die Teile 1 und 3 sich zueinander verhalten wie ein konsonanter Teil des Kreises zum ganzen, konsonieren sie auch miteinander, nach Axiom V [3]. Und da die Summe von 1 und 3 gleich 4 ist, konsoniert Teil 1 mit dem Ganzen 4, nach Axiom I [5] und Satz III [6].
Da das Reststück 3 mit dem Teil 1 konsoniert, konsoniert es auch mit dessen Vierfachem 4, d.h. mit der ganzen Saite. Es treten also auch hier drei Konsonanzen auf.
SATZ XII.
Die Teilung der Saite in zwei Teile nach der vierfachen Proportion ist harmonisch.
Denn da die Teile sich verhalten wie 1 zu 4, konsonieren sie unter sich identisch, nach Satz III [6]. Und da die Summe von 1 und 4 gleich 5 ist, konsoniert der Teil 1 mit dem Ganzen 5, nach Axiom I [5] und dem genannten Zusatz. Daher konsoniert die ganze Saite 5 auch mit dem Vierfachen des Teiles 1, nach Satz IV [4]. Es entstehen somit drei Konsonanzen. Also usw.
SATZ XIII.
Die Teilung der Saite in zwei Teile nach der fünffachen Proportion ist harmonisch.
Denn da der Teil 1 und das Reststück 5 ist, verhalten sich beide zueinander wie der ganze Kreis zu einem konsonanten Teil, nach Axiom I [5] und dem genannten Zusatz. Daher sind beide konsonant, nach Axiom V [3]. Und da der Teil 1 und das Reststück 5 das Ganze 6 ergeben, konsoniert der Teil 1 mit dem Ganzen 6, nach Axiom I [5] und dem Zusatz. Und da das Reststück 5 sich zum vierten Teil des Kreises 6 (d.h. zu 1½ bei unserer Teilung) verhält wie der ganze Kreis 10 zu dem nach dem Zusatz konsonanten Teil 3, so wird auch das Reststück 5 mit dem Ganzen 6 konsonieren, nach Satz VII [7]. Oder, was auf dasselbe hinauskommt: da das Reststück 5 sich zum Doppelten 12 des ganzen Kreises 6 verhält wie ein, nach dem Zusatz konsonanter Teil zum Ganzen, wird auch dieses Reststück 5 mit dem Doppelten 12 des Ganzen , nach Axiom V [3], konsonieren; es konsoniert also auch mit dem einfachen, d.h. mit dem Ganzen 6, nach Satz IV [4]. Es entstehen somit drei Konsonanzen. Also usw.
SATZ XIV.
Die Teilung der Saite in zwei Teile nach der anderthalbfachen Proportion ist harmonisch. [vgl. d: Quint]
Denn da der Teil 2 mit dem Reststück 3 die anderthalbfache Proportion ausmacht, verhält sich der Teil zum Reststück wie das nach dem Zusatz konsonante Reststück zum ganzen Kreis 3; daher wird auch dieser Teil 2 mit seinem Reststück 3 konsonieren, nach Axiom V [3]. Und da der Teil 2 mit dem Reststück 3 das Ganze 5 ausmacht, der Teil 1 aber und sein Reststück 4 mit dem Ganzen 5 konsoniert, nach dem Zusatz, daher wird auch das Ganze 5 mit dem Doppelten 2 des konsonanten Teils 1, das in diesem Fall unser Teil ist, oder mit der Hälfte 2 des konsonanten Reststücks 4 konsonieren, nach Satz IV [4]. Das gleiche folgt auch einfach aus dem axiomatischen Teil des Satzes V [8], da die Sehne zu 2/5 des Kreises darstellbar, also auch konsonant ist. Da schließlich das Reststück 3 des Teils 2 zum vierten Teil des Ganzen 5 sich verhält wie der ganze Kreis 12 zu dem nach dem Zusatz konsonanten Teil 5, wird auch unser Reststück 3 mit dem Ganzen 5 konsonieren, nach Satz VII [7]. Es treten somit drei Konsonanzen auf. Also usw.
SATZ XV.
Die Teilung der Saite in zwei Teile nach dem Verhältnis 5 zu 3 ist harmonisch. [vgl. d: Sext (gross)]
Denn da das Verhältnis des Teils 3 zum Reststück 5 das gleiche ist wie das nach dem Zusatz konsonante Reststück 3 zum Ganzen 5, wird auch unser Teil 3 mit unserem Reststück 5 konsonieren, nach Axiom V [3]. Und da der Teil 3 mit dem Reststück 5 das Ganze 8 ergibt, wird nach dem Zusatz der Teil 3 mit dem Ganzen 8 konsonieren. Da schließlich das Reststück 5 zur Hälfte 4 des Ganzen 8 sich verhält wie der ganze Kreis 5 zu dem konsonanten Reststück 4, oder zum vierten Teil 2 des Ganzen 8 wie der ganze Kreis 5 zu dem nach dem Zusatz konsonanten Teil 2, so wird auch unser Reststück mit dem Ganzen 8 konsonieren, nach Satz VII [7]. Es treten somit auch hier drei Konsonanzen auf. Also usw.
 
- sarà continuato -
da «Weltharmonik»; p.107ss.
Completamenti
1] II.AXIOM: In gleichem Grad, in dem die Darstellbarkeit einer Seite vom ersten Grad abweicht, entfernt sich auch die Konsonanz, die der von dieser Seite abgeschnittene Kreisteil mit dem ganzen Kreis bildet, von der unisonen vollkommensten Konsonanz, d.h. der Rang der Figur, zu der die Seite gehört, unter den übrigen Figuren bestimmt auch den Rang der zugehörigen Konsonanz unter den übrigen Konsonanzen. [p.96]
2] SATZ I.: Die Konsonanz der Hälfte mit dem Ganzen ist nach dem Einklang die einzige vom ersten Grad, sie ist einfach, vollkommen und identisch, und zwar entgegengesetzt identisch. [...] [p.102s.]
3] V.AXIOM: Saiten oder Kreisbögen gleicher Spannung, die hinsichtlich ihrer Länge unter sich in gleicher Proportion stehen, wie ein Teil oder ein Reststück eines Kreises zum ganzen Kreis, haben auch die gleiche Konsonanz oder Dissonanz, wenn es auch andere Bestimmungsstücke oder Töne sind, zwischen denen diese Proportion auftritt. [...] [p.97]
4] SATZ IV.: Eine Saite, die mit einem von zwei Vielfachen einer stetig doppelten Proportion konsoniert, konsoniert auch mit dem anderen Vielfachen, und wenn sie mit dem einen dissoniert, dissoniert sie auch mit dem anderen. [...] [p.104s.]
5] I.AXIOM: Der Durchmesser des Kreises und die Seiten der im I.Buch entwickelten ursprünglichen Figuren, die eine eigentliche Darstellbarkeit haben, grenzen einen Teil des Kreises ab, der mit dem ganzen Kreis konsoniert.
[...] Was die Musik [eine konkrete, in Tönen sich ausdrückende Harmonie] anlangt, so genügt es, daß eine als Gerade gespannte Saite so geteilt werden kann, wie sie, kreisförmig gebogen, durch die Seite einer einbeschreibbaren Figur geteilt wird.
ZUSATZ: Es gibt unendlich viele Konsonanzen, weil es unendlich viele konstruierbare Figuren gibt. Es ist aber noch nicht Zeit, von der Auswahl der Konkordanzen zu reden, die sich nicht sehr weit erstreckt. Die Pythagoreer suchten in ihren Zahlen, die sie für die Ursachen hielten, die Grenzen für die Menge konsonanter Intervalle; diese Grenzen setzt aber allein das menschliche Gehör fest, das nicht von unendlicher Potenz ist. Es ist also die Einschränkung der Zahl der Konsonanzen für die abstrakten Harmonien nur akzidentell, nicht aber ursächlich. Gehen doch auch die modernen Musiker über die pythagoreischen Grenzen hinaus, um von den himmlischen Harmonien ganz zu schweigen. [p.96]
6] SATZ III.: Saiten in stetig doppelter Proportion konsonieren miteinander alle identisch, die später folgenden jedoch in entfernterem Grad. [...] [p.103s.]
7] SATZ VII.: Wenn ein solches Reststück sich zu der Hälfte oder dem Viertel des Kreises oder der Saite ebenso verhält wie der ganze Kreis zu irgendeinem mit ihm konsonierenden Teil, so konsoniert es auch mit dem ganzen Kreis; ist aber jener teil dissonant, so ist es auch das Reststück. [...] [p.105s.]
8] SATZ V.: Wenn auch die darstellbaren Seiten der Sternfiguren wegen ihrer Darstellbarkeit im Kreis Teile, die mit dem ganzen konsonieren, mit demselben Recht bilden, mit dem dies die ursprünglichen Figuren tun (entsprechend dem Axiom I), so sind doch jene Seiten der Sternfiguren auszunehmen, welche einen solchen Teil des Kreises abschneiden, der aus einer nichtdarstellbaren Figur zukommenden Anzahl (von Teilen, wie sie die ursprüngliche Figur macht) besteht, falls die Zahlen des Teils und des Ganzen relativ prim sind. [...] [p.105]
da «Weltharmonik»
I miei annotazioni
a] Kongruente (deckungsgleiche) Figuren gibt es im ganzen zwölf, acht ursprüngliche (primäre) und vier erweiterte (Sterne):
01. Dreieck (Kongruenz 1.Grades)
02. Viereck (Kongruenz 1.Grades)
03. Fünfeck (Kongruenz 2.Grades)
04. Sechseck (Kongruenz 3.Grades)
05. Achteck (Kongruenz 4.Grades)
06. Zehneck (Kongruenz 4.Grades)
07. Zwölfeck (Kongruenz 5.Grades)
08. Zwanzigeck (Kongruenz 6.Grades)
09. Fünfeckstern (Kongruenz 2.Grades)
10. Achteckstern (Kongruenz 4.Grades)
11. Zehneckstern (Kongruenz 4.Grades)
12. Zwölfeckstern (Kongruenz 5.Grades)
siehe auch»TzN Jän.2006«
b] Dabei klingen die beiden Proportionsteile identisch zusammen, indem der größere das Doppelte des kleineren ausmacht.
c] zB. von Mond, klassischen Planeten und Sonne im Verhältnis zur Erde:
MOND ... Umlauf 27 d 7 h 43 min 11,5 s bei ~1,023 km/s und 5°09' Bahnneigung zur Ekliptik
MERKUR ... Umlauf 0,241 a bei ~47,9 km/s und 7°00,3' Bahnneigung zur Ekliptik
VENUS ... Umlauf 0,615 a bei ~35,0 km/s und 3°23,7' Bahnneigung zur Ekliptik
SONNE ... "Umlauf" 1 a bei ~29,8 km/s und 0° Bahnneigung zur Ekliptik
MARS ... Umlauf 1,881 a bei ~24,1 km/s und 1°51,0' Bahnneigung zur Ekliptik
JUPITER ... Umlauf 11,862 a bei ~13,1 km/s und 1°18,3' Bahnneigung zur Ekliptik
SATURN ... Umlauf 29,458 a bei ~9,6 km/s und 2°29,4' Bahnneigung zur Ekliptik
d] Die Verhältnisse der Stammtöne C (do), D (re), E (mi), F (fa), G (sol), A (la) und H (si) lauten:
C-C ... 1 Prim (C_C schwingt 1:1)
C-D ... 2 Sekund (gross, c"_d" schwingt 8:9)
C-E ... 3 Terz (gross, c'_e' schwingt 4:5)
C-F ... 4 Quart (g_c' schwingt 3:4)
C-G ... 5 Quint (c_g schwingt 2:3)
C-A ... 6 Sext (gross, c"_a" schwingt 3:5 bzw. 8:13)
C-H ... 7 Septim (gross, c"_h" schwingt 8:15)
C--c ... 8 Oktav (C_c schwingt 1:2)
e] auch Goldener Schnitt (1:1,618) oder Pentagrammproportion (Fünfsternverhältnis) genannt
verso la summenzionata